Тропическая кривая

Что общего у землетрясений и кучи песка? А у дорожных пробок и колебаний биржевых курсов? Казалось бы, ничего. Но с точки зрения математики все эти явления ведут себя схоже и могут быть описаны в рамках теории самоорганизующейся критичности (СОК).

С момента своего появления более 30 лет назад, идеи СОК стали популярны и оказали значительное влияние на развитие многих областей наук. До сих пор для симуляции самоорганизующихся процессов ученые использовали дискретную модель, обладающую ограничениями. Никита Калинин, старший научный сотрудник Международной лаборатории теории игр и принятия решений, и соавторы предложили более универсальную непрерывную модель, которая может помочь совершить качественный скачок в теоретической физике и биологии развития. Исследование попало на обложку журнала PNAS.

Критические системы

Система находится в критическом состоянии, если даже небольшое возмущение может вызвать цепную реакцию и привести к изменению ее поведения. Таковы, например, любые фазовые переходы: как только в воде, охлажденной до нуля градусов, появляется один центр кристаллизации, тут же замерзает целый кластер.

Существуют динамические системы, которые сами стремятся привести себя в состояние, близкое к критическому. Показательный пример — землетрясения. Если для замерзания воды необходимо подобрать определенные температуру и давление, то в случае землетрясений такие однозначные параметры отсутствуют. Основная причина явления кроется в постоянном движении тектонических плит, но в какой момент произойдет землетрясение, предсказать практически невозможно.

Многие исследователи пытались разгадать природу землетрясений. В середине XX века американские сейсмологи Гутенберг и Рихтер показали, что существует зависимость между силой и количеством землетрясений в определенном регионе. Эта зависимость описывается степенным законом: на двойной логарифмической шкале она имеет форму прямой.

Закон Гутенберга-Рихтера, где магнитуда землетрясения — логарифм высвободившейся энергии

Источник

Явления, которые обладают подобным признаком позднее были обнаружены в геофизике, космологии, экономике, теории управления риском и других областях. Все они могут быть описаны в рамках теории самоорганизующейся критичности (СОК).

Модель песочной кучи

Впервые концепцию самоорганизующейся критичности предложили Бэк, Тэн и Вайзенфелд в 1987 году. В своей работе они описали систему, ставшую классической моделью СОК: представьте квадратную сетку, в каждой вершине которой лежат песчинки. На сетку с определенной частотой падают новые крупинки. По определению, если в каждой вершине графа не более трёх песчинок, система находится в стабильном состоянии. Но как только в один из узлов падает четвертая песчинка, происходит обвал: песок сходит с этой вершины и перераспределяется на соседние узлы. Обвалы будут лавинообразно происходить до тех пор, пока система вновь не вернется в равновесное состояние. Главная находка физиков состояла в том, что размер обвалившейся области подчиняется степенному распределению.

На левом рисунке жирной точкой помечена нестабильная вершина. После того, как произошел обвал, три соседние вершины стали нестабильными, в них также произойдут обвалы.

Иллюстрация предоставлена автором исследования

Модель песочной кучи (sandpile model) долгое время была простейшей моделью, описывающей СОК. При этом она показывает поведение критических систем исключительно на феноменологическом уровне. С ее помощью нельзя ни промоделировать землетрясение, ни предсказать поведение настоящей кучи песка.

«Старая песочная модель, являясь чисто комбинаторной, живет немного отдельно от большого мира математики. Наша модель — это шаг вперед, потому что она имеет все достоинства песочной модели, но при этом еще геометрическая и непрерывная, а это заметно упрощает ее использование, — объясняет автор исследования, старший научный сотрудник Международной лаборатории теории игр и принятия решений НИУ ВШЭ Никита Калинин. — Мы показали, что степенные зависимости можно получить не только в клеточном автомате, но и в непрерывной системе в области тропической геометрии, которая уже сейчас много где применяется».

Свежее решение

Новая модель получила название тропической песочной модели* (tropical sandpile model). Вместо сетки, на которой строилась классическая модель, в данном случае рассматривается тропическая кривая — плоский граф с прямолинейными ребрами — заключенная в квадрат. Кривая делит квадрат на многоугольные области, в которых случайным образом выбирается последовательность точек. При появлении каждой новой точки, тропическая кривая пытается через нее «пройти»: многоугольная область, куда попала точка, стягивается внутрь посредством параллельного переноса сторон. Как только одно из ребер натыкается на точку, процесс останавливается. Затем добавляется следующая точка и все повторяется. При этом предыдущая точка может снова оказаться не на кривой, и система начнет движение в ее сторону.

Стягивание многоугольника к точке

Иллюстрация предоставлена автором исследования

Процесс стягивания является предельным вариантом добавления песчинки в песочную кучу. Размеру лавин в новой модели соответствует площадь, которую заметают стягивающиеся области в процессе, инициированном добавлением очередной случайно выбранной точки.

Ученые надеются, что с помощью их модели удастся прояснить связь между разными явлениями, в которых проявляются свойства самоорганизованной критичности.

«Сейчас мы видим, что разные явления с точки зрения математики в чем-то схожи. Тропическая геометрия уже нашла применение и в теории струн, и в экономике, и в биологии развития. Ценность нашей работы именно в нахождении связей в совершенно неожиданных местах. А это значит, что методы одной области могут быть применены в другой, нужно лишь сделать следующий шаг», — отмечает Никита Калинин.

IQ

* На видео: выпуклая область с квадратной сеткой. Во всех вершинах находится по три песчинки, по каждому клику мышки добавляется ещё одна песчинка. После каждого клика происходит релаксация (обвал) системы. Красным цветом отмечены вершины с четырьмя песчинками, белым — тремя, черным — меньше трех.
Затем картинка масштабируется: берётся сетка с меньшим шагом, но относительные положения точек, куда добавляются песчинки, не меняются. После релаксации получается та же картинка.Во второй части видео производят подобную симуляцию для круглой области.

Author: Kseniia Malchenko, September 07, 2018