Математика идеальных выборов

На недавнем научном семинаре Международного центра анализа и выбора решений НИУ ВШЭ (МЦАВР) с докладом выступил ведущий научный сотрудник центра, профессор Гарвардского университета и лауреат Нобелевской премии по экономике Эрик Маскин. Он предложил модифицированный вариант аксиомы независимости от посторонних альтернатив и показал, что правило голосования удовлетворяет ей, модифицированным условиям Эрроу и аксиоме Мэя только при условии соблюдения подсчёта по правилу Борда! О том, как этот результат повлиял на теорию группового выбора, а также о различных моделях выборов, начиная с «парадокса Кондорсе» рассказывает доктор наук, профессор Факультета экономических наук НИУ ВШЭ и директор МЦАВР Фуад Алескеров.

Фуад Алескеров,
директор Международного центра
анализа и выбора решений НИУ ВШЭ

Теория группового выбора как раздел социальных наук, кстати, основанный на очень хорошей математике, начался в конце XVIII века с работы выдающегося французского учёного маркиза Кондорсе. Он предложил пример, впоследствии названный «парадоксом Кондорсе», где показал, что если число альтернатив (например, кандидатов на выборах) и число избирателей больше двух, то правило простого большинства может не приводить к каким-либо решениям. При этом Кондорсе учитывал в своей модели не только самые предпочтительные варианты, но все упорядочение альтернатив.

«Парадокс Кондорсе» произвёл огромное впечатление на современников, на учёных XIX и начала XX веков. Дело в том, что с античных времен считалось, что большинство всегда право, что мнение большинства отражает волю высших сил. Есть даже замечательная римская пословица «Vox populi — Vox dei», то есть «Глас народа — глас божий». Кондорсе показал, что иногда глас народа может приводить к противоречивым результатам.

Итак, весь XIX век и первую половину XX века учёные пытались предложить правила, которые помогли бы избежать «парадокса Кондорсе», однако в той или иной форме он всё равно проявлялся.

Одновременно с Кондорсе, другой великий французский учёный Жан-Шарль де Борда предложил другое правило принятия решений, в котором альтернативы ранжируются, их ранги суммируются и выбирается альтернатива, набравшая максимальную сумму рангов. По сути, это прямое обобщение правила относительного большинства голосов, которым мы пользуемся.

Спустя полтора столетия, в 1951 году, Кеннет Эрроу — один из пяти величайших экономистов всех времён и народов — разработал иной подход к построению правил. Он впервые ввёл систему аксиом — внешних ограничений, которым должно удовлетворять любое разумное правило, и, в итоге, вывел такое правило из этих аксиом. 

В их число входило, например, условие Парето: если все участники процедуры голосования считают, что альтернатива x лучше, чем альтернатива y, то таким же должно быть и коллективное решение. Кроме того, в число аксиом вошли нейтральность — правило должно одинаково относиться ко всем альтернативам (кандидатам) и анонимность — то же условие, но по отношению к избирателям. 

Помимо вышеописанных, Эрроу ввёл и ещё одну фундаментальную аксиому, которую назвал условием независимости от посторонних альтернатив (independence of irrelevant alternatives). Данное условие представляется абсолютно важным в модели Эрроу — оно утверждает, что при принятии решений относительно взаимного упорядочения альтернатив x и y нам не нужно смотреть на взаимные соотношения между x и другими альтернативами, а также между y и другими альтернативами.

Иными словами, коллективные предпочтения между альтернативами x и y зависят только от индивидуальных предпочтений между x и y. А кроме того, если x предпочтительнее y из набора выбора {x,y}, то введение третьего варианта z и расширение набора выбора до {x,y,z}, не должно делать y предпочтительнее x. То есть предпочтения x или y не должны изменяться при включении z.

В наших работах мы назвали эту аксиому условием локальности. Я помню, что когда впервые рассказал об этом профессору Эрроу, о котором я храню самые тёплые воспоминания, он немножко подумал и сказал: «Да, действительно, это локальность, я об этом тогда даже не думал». 

Итог работы Эрроу, который называется «теоремой Эрроу» или «парадоксом Эрроу», был отрицательным в том смысле, что единственной процедурой, которая удовлетворяет перечисленным выше условиям, является совершенно не демократическая процедура — появление диктатора. Иначе говоря, назначается один участник и коллективное решение всегда совпадает с его индивидуальным решением.

Ещё через два десятка лет — в 1977 году — тогда ещё молодой учёный Эрик Маскин предложил рассмотреть такие соответствия группового выбора, которые позволяют представить коллективное решение в виде равновесий по Нэшу в конкретной игровой схеме. Впоследствии Маскин успешно решил эту фундаментальную задачу, за что был удостоен Нобелевской премии по экономике в 2007 году (совместно с Леонидом Гурвицем и Роджером Майерсоном).

В этой задаче условие локальности формируется таким образом: мы рассматриваем соотношения между x и y так, чтобы те элементы, которые находятся под вариантом x, то есть те, которые хуже, чем x, были бы те же самые, но порядок, в котором они находятся, не важен.

Мы тоже получили фундаментальные результаты в этой области. В одной из моих работ предложено аксиоматическое обоснование так называемых соответствий группового выбора, которые, в частности, удовлетворяют условию монотонности Маскина (если альтернатива (кандидат) x улучшает свою позицию по сравнению с y, то её (его) позиция в коллективном решении также должна улучшиться). 

И вот недавно профессор Маскин получил новый результат. Он предложил оценивать соотношение между альтернативами x и y, и в том случае, если позиции элементов между x и y не меняются, то, соответственно, не изменяется и соотношение между x и y в коллективном решении. Оказалось, что при наличии других известных ограничений — нейтральности, анонимности и монотонности — решение, которое удовлетворяет такой системе аксиом является подсчётом по правилу Борда.

На мой взгляд, это выдающееся достижение в исследовании нелокальных процедур принятия коллективных решений, которое повлечёт за собой значительное число работ. Впервые предложена аксиоматика, которая обобщает аксиоматику Эрроу и приводит к одному из известных позиционных правил — правилу Борда. В области, которой уже более 200 лет, сделан фундаментальный прорыв, и мне очень приятно, что он принадлежит моему другу и сотруднику нашего центра и НИУ ВШЭ профессору Эрику Маскину.
IQ

Author: Fuad T. Aleskerov, July 20, 2020