Кости и стрельба

В Издательском доме ВШЭ вышел учебник Александра Колданова и Петра Колданова «Теория вероятностей и математическая статистика». IQ.HSE публикует из него фрагмент, посвящённый истокам теории вероятности.

Можно выделить класс явлений реального мира, которые характеризуются следующими общими чертами:

 Для описания этих явлений естественно использовать такое понятие, как вероятность.

 Знание вероятностей часто вполне достаточно для решения практических задач.

 Вероятности сложных событий можно вычислять, используя формулы, связывающие их с вероятностями простых событий. Ответ на вопрос, как это делается, является одной из основных задач теории вероятностей.

 На основе анализа наблюдений можно делать выводы о вероятностях и других характеристиках этих событий. Ответ на вопрос, как это делается, является одной изо сновных задач математической статистики.

Для пояснения сделанных утверждений рассмотрим одну из первых задач, с которой началось интенсивное развитие науки о случайном. Такая задача известна как задача де Мерэ об игре в кости, которая была распространена в XVII веке во Франции.

Итак, задача де Мерэ: играют два игрока, один из игроков подбрасывает 24 раза два кубика одновременно. Один из игроков ставит на то, что за 24 броска ни разу не выпадут две шестерки одновременно. Другой игрок ставит на противоположное событие. Вопрос: на что разумнее ставить?

Де Мерэ подробно рассмотрел вспомогательную задачу: играют два игрока, один из игроков подбрасывает 4 раза один кубик. Первый игрок ставит на то, что за 4 броска ни разу не выпадет шестерка. Второй игрок ставит на противоположное событие: за 4 броска хотя бы один раз выпадет шестерка. Де Мерэ правильно решил, что выгоднее ставить на выпадение хотя бы раз шестерки. Опираясь на этот результат, он считал, что больше шансов за то, что за 24 броска хотя бы один раз выпадут две шестерки одновременно. Стал ставить на это событие и стал чаще проигрывать.

Обсудим эту задачу с позиций сформулированных выше утверждений.

 Очевидно, что заранее предсказать, как именно выпадут кубики в каждом конкретном броске, невозможно. Естественно попытаться найти шансы (вероятность) наступления того или иного события.

 Французский математик Блез Паскаль вычислил вероятность того, что за 24 броска хотя бы раз выпадут две шестерки одновременно, и для симметричных кубиков получил приблизительно 0,491. Таким образом, достаточно знать результаты Паскаля, чтобы выигрывать при большом количестве игр.

 Формула, по которой Паскаль вычислил вероятность события «за 24 броска хотя бы раз выпадут две шестерки одновременно», представляет самостоятельный интерес. Это событие мы рассматриваем как сложное событие. Под простым событием в данном случае понимается событие «при одном броске кубика выпала шестерка». Для симметричных кубиков естественно предположить, что вероятность простого события равна 1/6.

 Наблюдая за результатами бросаний двух кубиков одновременно, де Мерэ пришел к выводу об ошибочности своей стратегии.

Сделаем замечание о природе возникновения случайного события в общем случае. Пусть нас интересуют шансы появления некоторого события A. Всякое событие происходит в некоторых условиях. Пусть S — условия, которые влияют на A и которые мы контролируем, а S' — условия, которые влияют на A, но не контролируются нами. Далее, пусть влияние S' на A существенно, т.е. от того, как сложится ситуация в S', событие A может как произойти, так и не произойти. Так как ситуацию в S' мы не контролируем, то событие A мы можем рассматривать как случайное.

Второй мы бы хотели рассмотреть задачу о стрельбе. Пусть событие A — попасть в мишень. К комплексу условий S отнесем всё то, что можно контролировать (тип оружия, характеристика стрелка и цели и т.п.). К комплексу условий S' (источники случайности) отнесем все то, что не поддается контролю (возможные маневрирования цели, дальность до цели, тщательность прицеливания и т.п). Если влияние S' на A существенно, то заранее предсказать его появление мы не можем. Пусть мы каким-то образом (например, экспериментально) оценили вероятность попадания в мишень при одном выстреле, и эта вероятность не так велика, как нам бы хотелось.

Интуитивно кажется, что чем больше раз выстрелить, тем больше вероятность хотя бы один раз попасть. Поэтому можно поставить такой вопрос: сколько раз надо выстрелить, чтобы вероятность хотя бы одного попадания была, например 0,9 (0,99)? Интересно отметить, что такая задача решается так же, как и задача де Мерэ.

Таким образом, основная задача элементарной теории вероятностей заключается в получении формул расчёта вероятностей сложных событий через вероятности связанных с ними простых событий. (При этом вопрос, откуда берутся вероятности простых событий, не суть важен.) Такие формулы позволяют выделять события, которые являются практически достоверными в ситуациях, когда многое случайно.

С прикладной точки зрения целью теории вероятностей является создание методов предсказания поведения наблюдений над случайными явлениями по известным вероятностным характеристикам этих явлений. Целью математической статистики является создание методов анализа результатов наблюдений, позволяющих сделать выводы о неизвестных характеристиках изучаемых явлений, что в конечном счете дает возможность строить обоснованную стратегию поведения в условиях неопределенности. Именно эти методы, основанные на соответствующей математической модели, представляют интерес и составляют предмет теории вероятностей и математической статистики.
IQ

15 марта, 2023 г.