• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
vision

Почему не надо упрощать школьную математику

Хорошее знание алгебры и геометрии помогает школьникам успешнее решать и другие виды задач, например, прикладные, выяснили в совместном исследовании ученые НИУ ВШЭ, Стенфордского университета и Мичиганского университета (США).

АВТОРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ:

Андрей Захаров, замзаведующего международной лаборатории анализа образовательной политики Института образования НИУ ВШЭ.
Татьяна Хавенсон, научный сотрудник международной лаборатории анализа образовательной политики Института образования НИУ ВШЭ.

В обществе популярно представление о том, что курс математики в старших классах слишком сложен. Зачем столько «чистой» математики — алгебры и геометрии, к чему эти лабиринты формул, недоумевают родители. Нужно решать задачи, которые пригодятся в реальной жизни, полагают они.

Однако упор на «формульную» (то есть формальную) математику в школьном курсе — весьма разумное решение, доказала российско-американская команда исследователей. Сотрудники международной лаборатории анализа образовательной политики Института образования НИУ ВШЭ Андрей Захаров, Татьяна Хавенсон, научный руководитель лаборатории, заслуженный профессор Стенфордского университета Мартин Карной, ведущий научный сотрудник лаборатории, профессор Стенфордского университета Прашант Лоялка и заслуженный профессор Мичиганского университета Уильям Шмидт выяснили, что девятиклассники, которые решали больше задач по алгебре и геометрии, лучше справлялись и с другими заданиями по точным наукам. Такие ученики набрали больше баллов в математическом тесте международного мониторинга школьной грамотности PISA (Programme for International Student Assessment).

Результаты исследования опубликованы в статье «Revisiting the Relationship Between International Assessment Outcomes and Educational Production: Evidence From a Longitudinal PISA-TIMSS Sample». Работа вышла в престижном международном научном издании American Educational Research Journal (August 2016, vol. 53). Журнал входит в топ-10 периодических изданий по исследованиям образования.

Структура школьной программы разумна

Российскую школу «часто обвиняют в преобладании формальной математики» в ущерб прикладным задачам, рассуждает Андрей Захаров. Такое «наукообразное» построение программы часто считают причиной невысоких результатов российских учеников в тестах PISA. В этой «Программе по оценке образовательных достижений учащихся» много внимания уделяется умению школьников решать задачи из реальной жизни. По итогам тестов российскую школьную программу обычно критикуют. Курс математики считают оторванным от жизни, абстрактным. Сторонники этой точки зрения советуют перенять опыт финского образования, которое акцентирует прикладную математику. 


Российско-американская научная группа опровергла подобные рекомендации. Ученые выяснили, что работа с формальной математикой наиболее важна для успехов в математическом тесте PISA. «Те дети, которые на уроках чаще решают задачи этого типа, в целом показывают более высокие результаты теста, чем школьники, чьи учителя делают акцент на прикладных задачах», — подчеркнул Захаров. Алгебра и геометрия учат детей грамотному математическому мышлению. Таким ребятам проще решать и задачи других типов.

В математическом тесте PISA ученики выполняют задания разных типов:

  • прикладные — задачи «из жизни», которые приходится решать ежедневно (рассчитать размер рамки для фото и пр.);
  • текстовые задачи (с обилием данных, среди которых нужно уметь вычленить главное для решения);
  • задачи по формальной математике (например, решить уравнение).

Формулы помогают лучше освоить математику

Задач по алгебре и геометрии в PISA не много, но они оказались главным индикатором понимания предмета. Формальная математика сложнее для понимания, но она и более эффективна для освоения точной науки. Она выводит математическое мышление на новый уровень, задает алгоритмы решения задач, пояснили ученые. Отсюда — и успешное выполнение других заданий.

На демонизацию «формульной» математики в массовом сознании отчасти повлияли и сами математики. Они словно дразнили публику остротами об «абстрактности» формул. Чего стоит, например, лукавый парадокс выдающегося немецкого ученого Давида Гильберта: «Математика является учением об отношениях между формулами, лишенными какого бы то ни было содержания». Россиянин Григорий Перельман, лауреат Филдсовской премии («математической Нобелевки»), оправдал «чистую» математику: «Весь мир пронизывает пустота, а она подчиняется формулам. Это дает нам безграничные возможности».


То, что в российской школьной программе по математике верно расставлены акценты, подтверждают, например, результаты Международной математической олимпиады. С 2000 по 2014 год российская сборная входила в пятерку победителей. С 2000 по 2010 год в этом турнире РФ занимала, в основном, не ниже второго-третьего места.

Высоки результаты российских школьников и в мониторинге TIMSS (Trends in Mathematics and Science Study) — Международном сравнительном исследовании качества математического и естественнонаучного образования. В 2011 году Россия показала явный подъем уровня математической подготовки восьмиклассников: максимальный среди всех стран-участниц (прирост в 27 баллов по сравнению с 2007 годом). Баллы российских учеников значимо выше результатов учащихся из 36 стран, в том числе Финляндии, США, Великобритании, Австралии и пр.

И еще один любопытный факт: четыре года назад Великобритания решила открыть школы с углубленным изучением математики, которые созданы по образцу советских (одну из первых таких школ основал в 1963 году при МГУ им. Ломоносова знаменитый математик Андрей Колмогоров).

 Не стоит налегать на прикладные задачи

Получается парадокс, размышляет Андрей Захаров. Казалось бы, тренировка в решении прикладных задач должна была повысить результаты теста. Но вышло наоборот. «Использование задач на применение не показывает значимой связи с результатами теста», — отметил исследователь.

Как шутил Альберт Эйнштейн, «законы математики, имеющие какое-либо отношение к реальному миру, ненадежны; а надежные математические законы не имеют отношения к реальному миру».


Увеличение числа прикладных задач понижает результаты учеников в PISA, выяснили исследователи. Если учитель делает акцент на заданиях по формальной математике, баллы у детей растут. «Больше прочих от фокусировки на прикладной математике страдают отличники, — говорит Захаров. — И они же больше остальных выигрывают в баллах от сосредоточения на формальных заданиях».

Для «середнячков» выгодной стратегией будет акцент на текстовых задачах. Так их баллы в PISA повысятся. А вот для слабо успевающих ребят такая политика неэффективна. Более того, обилие прикладных задач в программе снижает их баллы сильнее, чем у их более успешных сверстников. «При этом для таких учеников упор стоит сделать не на содержании курса по математике, а на характеристиках учителя», — добавил Захаров.

 Лучше учиться у профессионала

Исследователи посмотрели, как связаны достижения школьников с характеристиками их учителей — образованием и квалификационной категорией. Были выделены три группы преподавателей по уровню их подготовки: учителя математики (выпускники педагогических вузов), профессиональные математики (выпускники соответствующих факультетов) и преподаватели с нематематическим образованием. По итогам исследования выяснилось, что:

  • для хорошистов и отличников лучше всего учиться у профессиональных математиков. То же касается и школьников из семей с высоким или средним культурным уровнем. Для этой аудитории занятия с такими преподавателями будут наиболее эффективны;
  • для детей из семей с низким культурным уровнем и слабой успеваемостью почти нет разницы, с кем заниматься (с точки зрения баллов в PISA): с выпускниками педвузов или профессиональными математиками. В этом случае больший эффект имеет категория учителя. Таким ребятам важно не попасть к педагогу без категории.

Копилка баллов

Помимо подготовки учителей и приоритетов по типам решаемых задач, свой вклад в более высокие баллы по математике вносят:

  • культурный уровень семьи (в более образованных и обеспеченных семьях у детей больше условий для хорошей учебы, а также возможностей научиться решать задачи по алгебре и геометрии);
  • предыдущие оценки по предмету (образовательные достижения не начинаются с «нуля», а накапливаются);
  • культурный уровень класса: в коллективах, где он выше, дети учатся лучше, и им достаются более квалифицированные учителя.

Такая политика школ — «лучше класс — лучше учитель» — весьма распространена, но не бесспорна, отметил Захаров. Самые квалифицированные педагоги еще более необходимы классам, в которых много детей из малообразованных семей. Это так называемая «стратегия компенсации». Если с ребятами работает именно такой преподаватель, то в математике они смогут добиться большего.

Исследование опирается на данные лонгитюдного исследования НИУ ВШЭ «Траектории в образовании и профессии». При его подготовке тест PISA 2012 прошли дети, участвовавшие в TIMSS 2011 года (Trends in Mathematics and Science Study, исследование качества школьного математического и естественнонаучного образования). Выборку составили свыше 4 тысяч человек из более чем 200 школ. TIMSS позволил восполнить пробел с данными о предыдущих оценках школьников и успеваемости их классов.

См. также:

Как психологический климат в школе влияет на успеваемость

Успехи учеников зависят от директора школы

Дети богатых родителей лучше учатся в школе

Социальное расслоение воспроизводится в образовании

Репетиторы не помогут троечникам успешно сдать ЕГЭ

Материалы по теме

Чемодан, вокзал, диплом

Какие регионы России привлекают, а какие теряют абитуриентов и выпускников вузов

Как из девочек делают «Леди Совершенство»

Девочки должны соответствовать стандартам успеха, считает общество — и предъявляет к ним повышенные, а зачастую трудновыполнимые требования.

К чему приводят исторические травмы: самые интересные исследования, проведенные учеными НИУ ВШЭ

Журналист Борис Грозовский специально для IQ.hse.ru из сотен исследований, сделанных учеными НИУ ВШЭ за последние три года, выбрал 35 — те, с которыми обязательно нужно ознакомиться.